Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} + x + 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} + 1 + 0$

Étape 1.5

Additionnez $4 x^{3} + 1$ et $0$ .

$4 x^{3} + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $12 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} + 1 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} + 1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $4 x^{3} + 1$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 1$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} + 1$ .

$4 x^{3} + 1$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} + 1 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} + 1 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} = - 1$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $4 x^{3} = - 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{3} = - 1$ par $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{- 1}{4}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{3} = - \frac{1}{4}$

Étape 5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{- \frac{1}{4}}$

Étape 5.5

Simplifiez $\sqrt[3]{- \frac{1}{4}}$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez $- \frac{1}{4}$ comme ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{4}$ .

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Étape 5.5.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{4}}$

Étape 5.5.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{4}}$

Étape 5.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Étape 5.5.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$x = - \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Étape 5.5.4

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$

Étape 5.5.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = - \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

Étape 5.5.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = - (\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Étape 5.5.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 5.5.7.2

Élevez $\sqrt[3]{4}$ à la puissance $1$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 5.5.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Étape 5.5.7.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Étape 5.5.7.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ comme $4$ .

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Étape 5.5.7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4}$ comme $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 5.5.7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 5.5.7.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.5.7.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.5.7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Étape 5.5.7.5.5

Évaluez l’exposant.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Étape 5.5.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.8.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Étape 5.5.8.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{16}}{4}$

Étape 5.5.8.3

Réécrivez $16$ comme $2^{3} \cdot 2$ .

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Étape 5.5.8.3.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Étape 5.5.8.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Étape 5.5.8.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Étape 5.5.9

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.5.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt[3]{2}$ .

$x = - \frac{2 (\sqrt[3]{2})}{4}$

Étape 5.5.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{2})$

Étape 9.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}})$

Étape 9.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$12 (1 \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}})$

Étape 9.2.2

Multipliez $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$12 \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$12 \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2^{2}}$

Étape 9.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$12 \frac{\sqrt[3]{4}}{2^{2}}$

Étape 9.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.4.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$12 \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

Étape 9.4.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$4 (3) \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

Étape 9.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 3 \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

Étape 9.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 \sqrt[3]{4}$

Étape 10

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Étape 11.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 11.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Étape 11.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}) - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Étape 11.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = 1 (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}) - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Étape 11.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.2.4.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{4}$ comme $\sqrt[3]{2^{4}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2^{4}}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Étape 11.2.2.4.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{16}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Étape 11.2.2.4.3

Réécrivez $16$ comme $2^{3} \cdot 2$ .

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Étape 11.2.2.4.3.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Étape 11.2.2.4.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Étape 11.2.2.4.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Étape 11.2.2.5

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{16} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Étape 11.2.2.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $16$ .

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Étape 11.2.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt[3]{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 (\sqrt[3]{2})}{16} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Étape 11.2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Étape 11.2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Étape 11.2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Étape 11.2.3

Pour écrire $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Étape 11.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.2.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 2$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 4}{8} + 2$

Étape 11.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \cdot 4}{8} + 2$

Étape 11.2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.6.1.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2} - 4 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Étape 11.2.6.1.2

Soustrayez $4 \sqrt[3]{2}$ de $\sqrt[3]{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Étape 11.2.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Étape 11.2.7

La réponse finale est $- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$ .

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} + x + 2$ .

$(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2)$ est un minimum local

Étape 13