Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \cos (4 π x^{2}) d x$

Étape 1

Laissez $u = 4 π x^{2}$ . Alors $d u = 8 \cdot x π d x$ , donc $\frac{1}{8 π} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 4 π x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 π x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 π x^{2}]$

Étape 1.1.2

Comme $4 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 π x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 π (2 x)$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 π x$

Étape 1.1.5

Remettez dans l’ordre $8 π$ et $x$ .

$x (8 π)$

Étape 1.1.6

Remettez dans l’ordre $x$ et $8$ .

$8 \cdot x π$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \cos (u) \frac{1}{8 π} d u$

Étape 2

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{8 π}$ .

$\int \frac{\cos (u)}{8 π} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{8 π}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8 π}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8 π} \int \cos (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{8 π} (\sin (u) + C)$

Étape 5

Simplifiez

$\frac{1}{8 π} \sin (u) + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 π x^{2}$ .

$\frac{1}{8 π} \sin (4 π x^{2}) + C$