Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1 + \ln (x)}{e^{x} - e}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1 + \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Étape 1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Étape 1.2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Étape 1.2.4

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Étape 1.2.5

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Étape 1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Étape 1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.6.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Étape 1.2.6.1.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Étape 1.2.6.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} e^{x} - e}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} e^{x} - lim_{x \to 1} e}$

Étape 1.3.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} e}$

Étape 1.3.1.3

Évaluez la limite de $e$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 1} x} - e}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{e^{1} - e}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez

$\frac{0}{e - e}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $e$ de $e$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1 + \ln (x)}{e^{x} - e} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1 + \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Étape 3.5

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Étape 3.6

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - e$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e]}$

Étape 3.9

Comme $- e$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{e^{x} + 0}$

Étape 3.10

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{1}{x}}{e^{x}}$

Étape 4

Associez des termes.

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Étape 4.1

Pour écrire $2 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x \cdot x}{x} + \frac{1}{x}}{e^{x}}$

Étape 4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x \cdot x + 1}{x}}{e^{x}}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \frac{2 x \cdot x + 1}{x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 1} 2 x \cdot x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 1} 2 x \cdot x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Étape 8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Étape 10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} e^{x}}$

Étape 11

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{\frac{2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} x}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

Étape 12.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{1}}{e^{lim_{x \to 1} x}}$

Étape 12.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{1}}{e^{1}}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Divisez $2 \cdot 1 \cdot 1 + 1$ par $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 \cdot 1 + 1}{e^{1}}$

Étape 13.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.1

Multipliez $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 13.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 1}{e^{1}}$

Étape 13.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 + 1}{e^{1}}$

Étape 13.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3}{e^{1}}$

Étape 13.3

Simplifiez

$\frac{3}{e}$