Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0^{+}} x \log (x)$

Étape 1

Réécrivez $x \log (x)$ comme $\frac{\log (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\log (x)}{\frac{1}{x}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \log (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Étape 2.1.2

Lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\log (x)$ diminue sans borne.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Étape 2.1.3

Comme le numérateur est une constante et le dénominateur approche de $0$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de l’infini.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 2.2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\log (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\log (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{- x^{- 2}}$

Étape 2.3.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x \ln (10)} (- x^{2})$

Étape 2.5

Associez $\frac{1}{x \ln (10)}$ et $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x \ln (10)}$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 2.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \ln (10)}$

Étape 2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (10)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x (\ln (10))}$

Étape 2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \ln (10)}$

Étape 2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{\ln (10)}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\ln (10)}$

Étape 3.2

Placez le terme $\frac{1}{\ln (10)}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- \frac{1}{\ln (10)} lim_{x \to 0^{+}} x$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \frac{1}{\ln (10)} \cdot 0$

Étape 5

Multipliez $- \frac{1}{\ln (10)} \cdot 0$ .

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Étape 5.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 \frac{1}{\ln (10)}$

Étape 5.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{\ln (10)}$ .

$0$