Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} (1 + e^{- x})$

Étape 1

Écrivez $e^{x} (1 + e^{- x})$ comme une fonction.

$f (x) = e^{x} (1 + e^{- x})$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int e^{x} (1 + e^{- x}) d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{x} \cdot 1 + e^{x} e^{- x} d x$

Étape 4.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\int e^{x} + e^{x} e^{- x} d x$

Étape 4.3

Multipliez $e^{x}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int e^{x} + e^{x - x} d x$

Étape 4.3.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\int e^{x} + e^{0} d x$

Étape 4.4

Simplifiez $e^{0}$ .

$\int e^{x} + 1 d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int e^{x} d x + \int d x$

Étape 6

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$e^{x} + C + \int d x$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$e^{x} + C + x + C$

Étape 8

Simplifiez

$e^{x} + x + C$

Étape 9

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = e^{x} (1 + e^{- x})$ .

$F (x) =$ $e^{x} + x + C$