Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \ln (- x)}{e^{3 x + 3} - 1}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 \ln (- x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} \ln (- x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Étape 1.2.2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{2 \ln (lim_{x \to - 1} - x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Étape 1.2.3

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \ln (- lim_{x \to - 1} x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Étape 1.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{2 \ln (1)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.4.2.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Étape 1.2.4.2.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 1.3.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} 3 x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 1.3.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 1.3.1.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 1.3.1.5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 1.3.1.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{0}{e^{3 \cdot - 1 + 3} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{0}{e^{- 3 + 3} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3.1.2

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \ln (- x)}{e^{3 x + 3} - 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Étape 3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \ln (- x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\ln (- x)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [\ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{1}{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{- 1 (- 1)}{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Étape 3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (- \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Étape 3.6

Associez $\frac{1}{x}$ et $- 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{- 2}{x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Étape 3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{2}{x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Étape 3.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Étape 3.10

Multipliez $\frac{2}{x}$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Étape 3.12

Multipliez $\frac{2}{x}$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Étape 3.13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{3 x + 3} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.14

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}]$ .

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Étape 3.14.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x + 3$ .

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Étape 3.14.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x + 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.14.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.14.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.14.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.14.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.14.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.14.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.14.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.14.7

Additionnez $3$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.14.8

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x + 3}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.15

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3} + 0}$

Étape 3.16

Additionnez $3 e^{3 x + 3}$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{3 e^{3 x + 3}}$

Étape 5

Multipliez $\frac{2}{x}$ par $\frac{1}{3 e^{3 x + 3}}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{x (3 e^{3 x + 3})}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{2}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to - 1} \frac{1}{x (e^{3 x + 3})}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x (e^{3 x + 3})}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x (e^{3 x + 3})}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3}}$

Étape 10

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{lim_{x \to - 1} 3 x + 3}}$

Étape 11

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 3}}$

Étape 12

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3}}$

Étape 13

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3}}$

Étape 14

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 14.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3}}$

Étape 14.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3}}$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Associez.

$\frac{2 \cdot 1}{3 (- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 15.2.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 \cdot (- 1 (- 1))}{3 (- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

Étape 15.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3 (e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

Étape 15.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.3.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{2}{3 e^{- 3 + 3}}$

Étape 15.3.2

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$- \frac{2}{3 e^{0}}$

Étape 15.3.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 1}$

Étape 15.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{2}{3}$