Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 x - x \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 x - x \cdot x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 x - (x^{\frac{1}{2}} x)}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{2 x - (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1}{2} + 1}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1 + 2}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int \frac{2 x - x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 x - x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x - x^{\frac{3}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\int \frac{x \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{x \cdot 2 + x (- x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 2 + x (- x^{\frac{1}{2}})$ .

$\int \frac{x (2 - x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 3.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int x (2 - x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 3.3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2}} x (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Étape 3.3.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Étape 3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{- \frac{1}{2} + 1} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Étape 3.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Étape 3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Étape 3.3.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}}) d x$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $x^{\frac{1}{2}}$ et $2$ .

$\int 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}}) d x$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $x^{\frac{1}{2}}$ et $- 1$ .

$\int 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 4.4

Factorisez le signe négatif.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) d x$

Étape 4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1 + 1}{2}} d x$

Étape 4.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} d x$

Étape 4.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1

Annulez le facteur commun.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} d x$

Étape 4.8.2

Réécrivez l’expression.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{1} d x$

Étape 4.9

Simplifiez

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x d x$

Étape 4.10

Remettez dans l’ordre $2 x^{\frac{1}{2}}$ et $- x$ .

$\int - x + 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - x d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int x d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Simplifiez

$- \frac{1}{2} x^{2} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Associez $2$ et $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$