Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{\frac{x}{5}}$

Étape 1

Écrivez $\sqrt{\frac{x}{5}}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{5}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sqrt{\frac{x}{5}} d x$

Étape 4

Laissez $u = \frac{x}{5}$ . Alors $d u = \frac{1}{5} d x$ , donc $5 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Laissez $u = \frac{x}{5}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Différenciez $\frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Étape 4.1.2

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$\frac{1}{5}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{\frac{1}{5}} d u$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{5}$ .

$\int \sqrt{u} (1 \cdot 5) d u$

Étape 5.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$\int \sqrt{u} \cdot 5 d u$

Étape 5.3

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\int 5 \sqrt{u} d u$

Étape 6

Comme $5$ est constant par rapport à $u$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int \sqrt{u} d u$

Étape 7

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Réécrivez $5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Associez $5$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{5}$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{x}{5})}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{10}{3} {(\frac{1}{5} x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sqrt{\frac{x}{5}}$ .

$F (x) =$ $\frac{10}{3} {(\frac{1}{5} x)}^{\frac{3}{2}} + C$