Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{5 - 3 x^{3}}} d x$

Étape 1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{5 - 3 x^{3}}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 5 - 3 x^{3}$ . Alors $d u = - 9 x^{2} d x$ , donc $- \frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 5 - 3 x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $5 - 3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x^{3}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 - 3 (3 x^{2})$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$0 - 9 x^{2}$

Étape 2.1.4

Soustrayez $9 x^{2}$ de $0$ .

$- 9 x^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 9} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{9}) d u$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{9}$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 9} d u$

Étape 3.3

Déplacez $9$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{9 \sqrt{u}} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} (- \int \frac{1}{9 \sqrt{u}} d u)$

Étape 5

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} (- (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u))$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 9} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 6.1.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$- \frac{3}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $18$ .

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Étape 6.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{3 (1)}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 6.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $18$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 6.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 6.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 6.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 6.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 6.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 6.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 6.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{6} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez $- \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $- \frac{1}{6} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{6} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{6}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 2}{6} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $6$ .

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Étape 8.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{6} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 - 3 x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(5 - 3 x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$