Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} {(x - x^{2})}^{3} (1 - 2 x) d x$

Étape 1

Laissez $u = x - x^{2}$ . Alors $d u = (1 - 2 x) d x$ , donc $\frac{1}{1 - 2 x} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x - x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$1 - (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 - 2 x$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 x + 1$

Étape 1.1.5

Réorganisez les termes.

$1 - 2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - x^{2}$ .

$u_{lower} = 0 - 0^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - x^{2}$ .

$u_{upper} = 2 - 2^{2}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 2 - 1 \cdot 4$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$u_{upper} = 2 - 4$

Étape 1.5.2

Soustrayez $4$ de $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{- 2} u^{3} d u$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{- 2}$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1

Évaluez $\frac{1}{4} u^{4}$ sur $- 2$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $16$ .

$\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 3.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Étape 3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Étape 3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Étape 3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Étape 3.2.3.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Étape 3.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0$

Étape 3.2.5

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$4 + 0 (\frac{1}{4})$

Étape 3.2.6

Multipliez $0$ par $\frac{1}{4}$ .

$4 + 0$

Étape 3.2.7

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$

Étape 4