Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{2} - 3 x - 5}{x} d x$

Étape 1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{x^{2}}{x} + \frac{- 3 x}{x} + \frac{- 5}{x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Étape 3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Étape 3.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Étape 3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Étape 3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{x}{1} d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Étape 3.1.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$\int x d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\int x d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Étape 3.2.2

Divisez $- 3$ par $1$ .

$\int x d x + \int - 3 d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 3 d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 3 d x + \int - \frac{5}{x} d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + \int - \frac{5}{x} d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C - \int \frac{5}{x} d x$

Étape 8

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C - (5 \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 9

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C - 5 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C - 5 (\ln (| x |) + C)$

Étape 11

Simplifiez

$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 5 \ln (| x |) + C$