Calcul infinitésimal Exemples

$2 y^{3} - x^{2} + 2 y = - 4 y^{2} - x^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 y^{3} - x^{2} + 2 y) = \frac{d}{d x} (- 4 y^{2} - x^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y^{3} - x^{2} + 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 y^{2} y' - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 y^{2} y' - 2 x + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 y^{2} - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 3.2.4

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 8 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 8 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 8 y y' - (3 x^{2})$

Étape 3.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 8 y y' - 3 x^{2}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 x^{2} - 8 y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y' = - 3 x^{2} - 8 y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $8 y y'$ aux deux côtés de l’équation.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2}$

Étape 5.2

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$6 y^{2} y' + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Étape 5.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $6 y^{2} y' + 2 y' + 8 y y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $6 y^{2} y'$ .

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Étape 5.3.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y'$ .

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1 + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Étape 5.3.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $8 y y'$ .

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1 + 2 y' (4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

Étape 5.3.4

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1$ .

$2 y' (3 y^{2} + 1) + 2 y' (4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

Étape 5.3.5

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' (3 y^{2} + 1) + 2 y' (4 y)$ .

$2 y' (3 y^{2} + 1 + 4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

Étape 5.4

Factorisez.

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Étape 5.4.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.4.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y' (3 y^{2} + 4 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Étape 5.4.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 5.4.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y$ .

$2 y' (3 y^{2} + 4 (y) + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Étape 5.4.1.2.2

Réécrivez $4$ comme $1$ plus $3$

$2 y' (3 y^{2} + (1 + 3) y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Étape 5.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 y' (3 y^{2} + 1 y + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Étape 5.4.1.2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 y' (3 y^{2} + y + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Étape 5.4.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.4.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 y' ((3 y^{2} + y) + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Étape 5.4.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 y' (y (3 y + 1) + 1 (3 y + 1)) = - 3 x^{2} + 2 x$

Étape 5.4.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 y + 1$ .

$2 y' ((3 y + 1) (y + 1)) = - 3 x^{2} + 2 x$

Étape 5.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$ par $2 (3 y + 1) (y + 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$ par $2 (3 y + 1) (y + 1)$ .

$\frac{2 y' (3 y + 1) (y + 1)}{2 (3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (3 y + 1) (y + 1)}{2 (3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (3 y + 1) (y + 1)}{(3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $3 y + 1$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 y + 1) (y + 1)}{(3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Étape 5.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Étape 5.5.2.3

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 5.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Étape 5.5.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Étape 5.5.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Étape 5.5.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{x}{(3 y + 1) (y + 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{x}{(3 y + 1) (y + 1)}$