Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{3 - 2 x - x^{2}}{- 4 + 3 x + x^{2}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} 3 - 2 x - x^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 3 - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{3 - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 - 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 - 2 lim_{x \to 1} x - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Étape 1.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 1 - 1^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.1.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{3 - 2 - 1^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Étape 1.1.2.6.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{3 - 2 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Étape 1.1.2.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 - 2 - 1}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Étape 1.1.2.6.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{- lim_{x \to 1} 4 + lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} x^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 4 + lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} x^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 3 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} x^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{- 4 + 3 lim_{x \to 1} x + {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 3 \cdot 1 + {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 3 \cdot 1 + 1^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.6.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{0}{- 4 + 3 + 1^{2}}$

Étape 1.1.3.6.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{- 4 + 3 + 1}$

Étape 1.1.3.6.2

Additionnez $- 4$ et $3$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Étape 1.1.3.6.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{3 - 2 x - x^{2}}{- 4 + 3 x + x^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 - 2 x - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 - 2 x - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 2 x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Étape 1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Étape 1.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.3.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Étape 1.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Étape 1.3.5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 - 2 x}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Étape 1.3.6

Simplifiez

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Étape 1.3.6.1

Soustrayez $2$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 - 2 x}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Étape 1.3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 + 3 x + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{0 + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.3.9.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{0 + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.9.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{0 + 3 + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{0 + 3 + 2 x}$

Étape 1.3.11

Simplifiez

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Étape 1.3.11.1

Additionnez $0$ et $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{3 + 2 x}$

Étape 1.3.11.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{2 x + 3}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} - 2 x - 2}{lim_{x \to 1} 2 x + 3}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} 2 x + 3}$

Étape 2.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} 2 x + 3}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 2 x + 3}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 3}$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 3}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 1} x + 3}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{- 2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 1} x + 3}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{- 2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 1 + 3}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{- 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 1 + 3}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 - 2}{2 \cdot 1 + 3}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$\frac{- 4}{2 \cdot 1 + 3}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{- 4}{2 + 3}$

Étape 4.2.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{- 4}{5}$

Étape 4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{5}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{4}{5}$

Forme décimale :

$- 0.8$