Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 {(5 x^{2} + 3)}^{4}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 {(5 x^{2} + 3)}^{4})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 {(5 x^{2} + 3)}^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 3)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 3)}^{4}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 5 x^{2} + 3$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x^{2} + 3$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x^{2} + 3$ .

$5 (4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 ({(5 x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3])$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$20 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$20 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.3.5

Multipliez $2$ par $5$ .

$20 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.3.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$20 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x + 0)$

Étape 3.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.7.1

Additionnez $10 x$ et $0$ .

$20 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x)$

Étape 3.3.7.2

Multipliez $10$ par $20$ .

$200 {(5 x^{2} + 3)}^{3} x$

Étape 3.3.7.3

Réorganisez les facteurs de $200 {(5 x^{2} + 3)}^{3} x$ .

$200 x {(5 x^{2} + 3)}^{3}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 200 x {(5 x^{2} + 3)}^{3}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 200 x {(5 x^{2} + 3)}^{3}$