Calcul infinitésimal Exemples

$x y^{2} - y^{3} = x^{2} - 5$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 5)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y^{2} - y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.2.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x y y' + y^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 x y y' + y^{2} - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} - (3 y^{2} y')$

Étape 2.3.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 x y y' + y^{2} - 3 y^{2} y'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{2} + 2 x y y' - 3 y^{2} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 3.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 3.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y^{2} + 2 x y y' - 3 y^{2} y' = 2 x$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y y' - 3 y^{2} y' = 2 x - y^{2}$

Étape 5.2

Factorisez $y y'$ à partir de $2 x y y' - 3 y^{2} y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y y'$ à partir de $2 x y y'$ .

$y y' (2 x) - 3 y^{2} y' = 2 x - y^{2}$

Étape 5.2.2

Factorisez $y y'$ à partir de $- 3 y^{2} y'$ .

$y y' (2 x) + y y' (- 3 y) = 2 x - y^{2}$

Étape 5.2.3

Factorisez $y y'$ à partir de $y y' (2 x) + y y' (- 3 y)$ .

$y y' (2 x - 3 y) = 2 x - y^{2}$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y y' (2 x - 3 y) = 2 x - y^{2}$ par $y (2 x - 3 y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y y' (2 x - 3 y) = 2 x - y^{2}$ par $y (2 x - 3 y)$ .

$\frac{y y' (2 x - 3 y)}{y (2 x - 3 y)} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (2 x - 3 y)}{y (2 x - 3 y)} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2 x - 3 y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y (- y)}{y (2 x - 3 y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y (- y)}{y (2 x - 3 y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y}{2 x - 3 y}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y}{2 x - 3 y}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $- \frac{y}{2 x - 3 y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y}{2 x - 3 y} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (2 x - 3 y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{y}{2 x - 3 y}$ par $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y \cdot y}{(2 x - 3 y) y}$

Étape 5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(2 x - 3 y) y$ .

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y \cdot y}{y (2 x - 3 y)}$

Étape 5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 x - y \cdot y}{y (2 x - 3 y)}$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.3.5.1

Déplacez $y$ .

$y' = \frac{2 x - (y \cdot y)}{y (2 x - 3 y)}$

Étape 5.3.3.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$