Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{h}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} + 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.4

Déplacez l’exposant $3$ de ${(x + h)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.6

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.7

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.8

Évaluez la limite de $\sqrt{x^{3} + 2}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{\sqrt{{(x + 0)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3

Associez les termes opposés dans $\sqrt{{(x + 0)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $\sqrt{x^{3} + 2}$ de $\sqrt{x^{3} + 2}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d h} [\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}$ comme ${({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ et $g (h) = {(x + h)}^{3} + 2$ .

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Étape 1.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(x + h)}^{3} + 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3} + 2] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3} + 2] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(x + h)}^{3} + 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3} + 2] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(x + h)}^{3} + 2$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [2]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = h^{3}$ et $g (h) = x + h$ .

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Étape 1.3.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {(x + h)}^{2} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {(x + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.6

Comme $x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {(x + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.8

Comme $2$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $2$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.12.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.14

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (3 {(x + h)}^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.15

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (3 {(x + h)}^{2} + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.16

Additionnez $3 {(x + h)}^{2}$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (3 {(x + h)}^{2}) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.17

Associez $\frac{1}{2}$ et ${({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (3 {(x + h)}^{2}) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.18

Associez $3$ et $\frac{{({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} {(x + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.19

Associez $\frac{3 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et ${(x + h)}^{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} {(x + h)}^{2}}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.20

Placez ${({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4

Comme $- \sqrt{x^{3} + 2}$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- \sqrt{x^{3} + 2}$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 1.5

Réécrivez ${({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}} \cdot 1$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{3}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $h$ .

$\frac{3}{2} lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2}}{\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

Étape 2.3

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x + h)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

Étape 2.6

Placez la limite sous le radical.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} + 2}}$

Étape 2.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2}}$

Étape 2.8

Déplacez l’exposant $3$ de ${(x + h)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2}}$

Étape 2.9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2}}$

Étape 2.10

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2}}$

Étape 2.11

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 0)}^{2}}{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 0)}^{2}}{\sqrt{{(x + 0)}^{3} + 2}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{3 {(x + 0)}^{2}}{2 \sqrt{{(x + 0)}^{3} + 2}}$

Étape 4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{{(x + 0)}^{3} + 2}}$

Étape 4.3

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 2}}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 2}}$ par $\frac{\sqrt{x^{3} + 2}}{\sqrt{x^{3} + 2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{3} + 2}}{\sqrt{x^{3} + 2}}$

Étape 4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 2}}$ par $\frac{\sqrt{x^{3} + 2}}{\sqrt{x^{3} + 2}}$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 \sqrt{x^{3} + 2} \sqrt{x^{3} + 2}}$

Étape 4.5.2

Déplacez $\sqrt{x^{3} + 2}$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 (\sqrt{x^{3} + 2} \sqrt{x^{3} + 2})}$

Étape 4.5.3

Élevez $\sqrt{x^{3} + 2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 ({\sqrt{x^{3} + 2}}^{1} \sqrt{x^{3} + 2})}$

Étape 4.5.4

Élevez $\sqrt{x^{3} + 2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 ({\sqrt{x^{3} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{3} + 2}}^{1})}$

Étape 4.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {\sqrt{x^{3} + 2}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {\sqrt{x^{3} + 2}}^{2}}$

Étape 4.5.7

Réécrivez ${\sqrt{x^{3} + 2}}^{2}$ comme $x^{3} + 2$ .

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Étape 4.5.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3} + 2}$ comme ${(x^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {({(x^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.5.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {(x^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.5.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {(x^{3} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {(x^{3} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {(x^{3} + 2)}^{1}}$

Étape 4.5.7.5

Simplifiez

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 (x^{3} + 2)}$