Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 1} \frac{{(2 x + 3)}^{2} - 1}{x^{2} + x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 1} {(2 x + 3)}^{2} - 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} {(2 x + 3)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de ${(2 x + 3)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} 2 x + 3)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 3)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.1.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to - 1} x + 3)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.1.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to - 1} x + 3)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{{(2 \cdot - 1 + 3)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{{(- 2 + 3)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

Étape 1.1.3.3

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

Étape 1.1.3.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} - 1}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.4.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.4.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 1} \frac{{(2 x + 3)}^{2} - 1}{x^{2} + x} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.2

Réécrivez ${(2 x + 3)}^{2}$ comme $(2 x + 3) (2 x + 3)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 3) (2 x + 3) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3

Développez $(2 x + 3) (2 x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.4.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.4.1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.4.1.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.4.1.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.4.2

Additionnez $6 x$ et $6 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 12 x + 9 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 12 x + 9 - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.6.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.6.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 1.3.7.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.7.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12 + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.8

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.10

Associez des termes.

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Étape 1.3.10.1

Additionnez $8 x + 12$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.10.2

Additionnez $8 x + 12$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12}{2 x + 1}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 8 x + 12}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 8 x + lim_{x \to - 1} 12}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Étape 2.3

Placez le terme $8$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 12}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{8 lim_{x \to - 1} x + 12}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{8 lim_{x \to - 1} x + 12}{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to - 1} x + 12}{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{8 lim_{x \to - 1} x + 12}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{8 \cdot - 1 + 12}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{8 \cdot - 1 + 12}{2 \cdot - 1 + 1}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{- 8 + 12}{2 \cdot - 1 + 1}$

Étape 4.1.2

Additionnez $- 8$ et $12$ .

$\frac{4}{2 \cdot - 1 + 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4}{- 2 + 1}$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\frac{4}{- 1}$

Étape 4.3

Divisez $4$ par $- 1$ .

$- 4$