Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + x}{2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3} - 2 x^{2} + x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Étape 1.1.2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{3} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Étape 1.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{3} - 2 \cdot 0^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Étape 1.1.2.5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{3} - 2 \cdot 0^{2} + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0^{2} + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Étape 1.1.2.6.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Étape 1.1.2.6.1.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Étape 1.1.2.6.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Étape 1.1.2.6.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

Étape 1.1.3.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

Étape 1.1.3.3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

Étape 1.1.3.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}$

Étape 1.1.3.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0^{3} + 0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3.6.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0^{3} + 0^{2} - 2 \cdot 0}$

Étape 1.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.7.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 + 0^{2} - 2 \cdot 0}$

Étape 1.1.3.7.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0^{2} - 2 \cdot 0}$

Étape 1.1.3.7.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 - 2 \cdot 0}$

Étape 1.1.3.7.1.4

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 0}$

Étape 1.1.3.7.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.1.3.7.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3} - 2 x^{2} + x}{2 x^{3} + x^{2} - 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 2 x^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 2 x]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + x^{2} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.7.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Étape 1.3.7.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Étape 1.3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 1.3.9.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{6 x^{2} + 2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{6 x^{2} + 2 x - 2 \cdot 1}$

Étape 1.3.9.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{6 x^{2} + 2 x - 2}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} - 4 x + 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} - lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

Étape 2.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

Étape 2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

Étape 2.5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + 2 x - 2}$

Étape 2.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2}$

Étape 2.8

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{6 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2}$

Étape 2.9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 2}$

Étape 2.10

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2}$

Étape 2.11

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} - 4 lim_{x \to 0} x + 1}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0 + 1}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} - 4 \cdot 0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Étape 4.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0 - 4 \cdot 0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$\frac{0 + 0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Étape 4.1.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0 + 1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Étape 4.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{6 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{6 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Étape 4.2.2

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{1}{0 + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Étape 4.2.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{0 + 0 - 1 \cdot 2}$

Étape 4.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{0 + 0 - 2}$

Étape 4.2.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{0 - 2}$

Étape 4.2.6

Soustrayez $2$ de $0$ .

$\frac{1}{- 2}$

Étape 4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$- 0.5$