Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 8.3

Placez ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 12

Associez les fractions.

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Étape 12.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 12.2

Associez $2$ et $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 12.3

Associez $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 16

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 17

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 18

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 19

Multipliez $\frac{\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ par $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 20

Associez.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 21

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 22

Annulez le facteur commun de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 22.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 22.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 23

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 23.1

Déplacez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 23.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 23.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 23.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 23.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{1} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 24

Simplifiez ${(x^{2} + 1)}^{1} (- \frac{d}{d x} [x])$ .

$\frac{x^{2} + (x^{2} + 1) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 25

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + (x^{2} + 1) (- 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 26

Simplifiez l’expression.

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Étape 26.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + (x^{2} + 1) \cdot - 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 26.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2} + 1$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 26.3

Réécrivez $- 1 (x^{2} + 1)$ comme $- (x^{2} + 1)$ .

$\frac{x^{2} - (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 27

Simplifiez

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Étape 27.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 27.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 27.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 27.2.2

Soustrayez $1 \cdot 1$ de $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 27.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 27.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 27.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$