Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin^{2} (\sin (π x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (\sin (π x))$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (\sin (π x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (\sin (π x))]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (\sin (π x))]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (\sin (π x))$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \frac{d}{d x} [\sin (\sin (π x))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \sin (π x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (π x)$ .

$2 \sin (\sin (π x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (π x)])$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (\sin (π x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\sin (π x)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (π x)$ .

$2 \sin (\sin (π x)) (\cos (\sin (π x)) \frac{d}{d x} [\sin (π x)])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = π x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $π x$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [π x])$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\cos (u_{3})$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [π x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $π x$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) (π \cdot 1)$

Étape 4.3

Multipliez $π$ par $1$ .

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) π$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réorganisez les facteurs de $2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) π$ .

$2 π \cos (\sin (π x)) \cos (π x) \sin (\sin (π x))$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre $2 π \cos (\sin (π x)) \cos (π x)$ et $\sin (\sin (π x))$ .

$\sin (\sin (π x)) (2 π \cos (\sin (π x)) \cos (π x))$

Étape 5.3

Déplacez les parenthèses.

$\sin (\sin (π x)) (2 π \cos (\sin (π x))) \cos (π x)$

Étape 5.4

Déplacez les parenthèses.

$\sin (\sin (π x)) (2 π) \cos (\sin (π x)) \cos (π x)$

Étape 5.5

Remettez dans l’ordre $\sin (\sin (π x)) (2 π)$ et $\cos (\sin (π x))$ .

$\cos (\sin (π x)) (\sin (\sin (π x)) (2 π)) \cos (π x)$

Étape 5.6

Ajoutez des parenthèses.

$\cos (\sin (π x)) (\sin (\sin (π x)) \cdot 2) π \cos (π x)$

Étape 5.7

Remettez dans l’ordre $\cos (\sin (π x))$ et $\sin (\sin (π x)) \cdot 2$ .

$\sin (\sin (π x)) \cdot 2 \cos (\sin (π x)) π \cos (π x)$

Étape 5.8

Remettez dans l’ordre $\sin (\sin (π x))$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) π \cos (π x)$

Étape 5.9

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 \sin (π x)) π \cos (π x)$

Étape 5.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sin (2 \sin (π x)) π \cos (π x)$ .

$π \sin (2 \sin (π x)) \cos (π x)$