Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = x^{3} + 2$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x^{3} + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{3} + 2$ .

$u_{lower} = 1^{3} + 2$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = 1 + 2$

Étape 2.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$u_{lower} = 3$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{3} + 2$ .

$u_{upper} = t^{3} + 2$

Étape 2.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = t^{3} + 2$

Étape 2.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Étape 3.2

Déplacez $3$ à gauche de $u^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} \int_{3}^{t^{3} + 2} u^{- 2} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{3} - u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}$

Étape 7

Associez $\frac{1}{3}$ et $- u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- u^{- 1}]_{3}^{t^{3} + 2}}{3}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $- u^{- 1}$ sur $t^{3} + 2$ et sur $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- {(t^{3} + 2)}^{- 1}) + 3^{- 1}}{3}$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} + \frac{1}{3}}{3}$

Étape 8.2.2

Pour écrire $- {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Étape 8.2.3

Associez $- {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ et $\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}{3}$

Étape 8.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- {(t^{3} + 2)}^{- 1} \cdot 3 + 1}{3}}{3}$

Étape 8.2.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}}{3}$

Étape 8.2.6

Réécrivez $\frac{\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}}{3}$ comme un produit.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 8.2.7

Multipliez $\frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{3 \cdot 3}$

Étape 8.2.8

Multipliez $3$ par $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} + 1}{9}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) + 1}{9}$

Étape 9.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) - 1 (- 1)}{9}$

Étape 9.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)}{9}$

Étape 9.4

Réécrivez $- (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)$ comme $- 1 (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1)}{9}$

Étape 9.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to \infty} - \frac{3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1}{9}$

Étape 10

Évaluez la limite.

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Étape 10.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1}{9}$

Étape 10.2

Placez le terme $\frac{1}{9}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- \frac{1}{9} lim_{t \to \infty} 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - 1$

Étape 10.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- \frac{1}{9} (lim_{t \to \infty} 3 {(t^{3} + 2)}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 10.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- \frac{1}{9} (3 lim_{t \to \infty} {(t^{3} + 2)}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 10.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9} (3 lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3} + 2} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 10.6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{t^{3} + 2}$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{9} (3 \cdot 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 10.7

Évaluez la limite.

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Étape 10.7.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- \frac{1}{9} (3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$

Étape 10.7.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.7.2.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$- \frac{1}{9} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 10.7.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{9} (0 - 1)$

Étape 10.7.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot - 1$

Étape 10.7.2.3

Multipliez $- \frac{1}{9} \cdot - 1$ .

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Étape 10.7.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{9})$

Étape 10.7.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $1$ .

$\frac{1}{9}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{9}$

Forme décimale :

$0.\overline{1}$