Calcul infinitésimal Exemples

$\int [5 x + \frac{2}{3 x^{5}}] d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int 5 x + \frac{2}{3 x^{5}} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 5 x d x + \int \frac{2}{3 x^{5}} d x$

Étape 3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int x d x + \int \frac{2}{3 x^{5}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{2}{3 x^{5}} d x$

Étape 5

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Retirez $x^{5}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{2}{3} \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{2}{3} \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Étape 6.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{2}{3} \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{2}{3} \int x^{- 5} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{2}{3} (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{5 x^{2}}{2} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{4} x^{- 4}) + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $x^{- 4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5 x^{2}}{2} + \frac{2}{3} (- \frac{x^{- 4}}{4}) + C$

Étape 8.2.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{x^{- 4}}{4}$ .

$\frac{5 x^{2}}{2} - \frac{2 x^{- 4}}{3 \cdot 4} + C$

Étape 8.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{5 x^{2}}{2} - \frac{2 x^{- 4}}{12} + C$

Étape 8.2.4

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 x^{2}}{2} - \frac{2}{12 x^{4}} + C$

Étape 8.2.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $12$ .

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Étape 8.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{5 x^{2}}{2} - \frac{2 (1)}{12 x^{4}} + C$

Étape 8.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12 x^{4}$ .

$\frac{5 x^{2}}{2} - \frac{2 (1)}{2 (6 x^{4})} + C$

Étape 8.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 (6 x^{4})} + C$

Étape 8.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x^{2}}{2} - \frac{1}{6 x^{4}} + C$

Étape 8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5}{2} x^{2} - \frac{1}{6 x^{4}} + C$