Calcul infinitésimal Exemples

$- \sqrt{4 - x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 - x}$ comme ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 4 - x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - x$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - x$ .

$- (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Étape 7.3

Placez ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 12

Multipliez.

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Étape 12.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 12.2

Multipliez $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 14

Multipliez $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$