Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{3} (x)} d x$

Étape 4

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ à $\sec^{3} (x)$ .

$\int \sec^{3} (x) d x$

Étape 5

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec^{3} (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

Étape 6

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sec (x)$ et $d v = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

Étape 7

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

Étape 8

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

Étape 9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

Étape 10.2

Remettez dans l’ordre $\tan^{2} (x)$ et $\sec (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

Étape 11

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (x)$ comme $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Étape 12

Simplifiez en multipliant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Étape 12.3

Remettez dans l’ordre $\sec (x)$ et $- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Étape 13

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

Étape 14

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

Étape 15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Étape 16

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

Étape 17

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

Étape 18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

Étape 19

Additionnez $2$ et $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

Étape 20

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Étape 21

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Étape 22

L’intégrale de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

Étape 23

Simplifiez en multipliant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Étape 23.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Étape 24

En résolvant $\int \sec^{3} (x) d x$ , nous trouvons que $\int \sec^{3} (x) d x$ = $\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

Étape 25

Multipliez $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ par $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

Étape 26

Simplifiez

$\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$

Étape 27

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{\cos^{3} (x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$