Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3}{20} x^{- 4} + x^{5} + \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3}{20} x^{- 4} + x^{5} + \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{- 4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $\frac{3}{20}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{20} x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$\frac{3}{20} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.3

Associez $- 4$ et $\frac{3}{20}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{20} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.4

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{- 12}{20} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.5

Associez $\frac{- 12}{20}$ et $x^{- 5}$ .

$\frac{- 12 x^{- 5}}{20} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.6

Placez $x^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 12}{20 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.7

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $20$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$\frac{4 (- 3)}{20 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $20 x^{5}$ .

$\frac{4 (- 3)}{4 (5 x^{5})} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 3}{4 (5 x^{5})} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.4.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.4.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.4.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.5.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.4.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + x^{2} + 2 x$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 5 x^{4} + x^{2} + 2 x - \frac{3}{5 x^{5}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} + x^{2} + 2 x - \frac{3}{5 x^{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$20 x^{3} + 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Comme $- \frac{3}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{5 x^{5}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Étape 2.5.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{5}}$ comme ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{5}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 2.5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 2.5.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 2.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Étape 2.5.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Étape 2.5.5.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Étape 2.5.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Étape 2.5.7

Multipliez $x^{- 10}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.7.1

Déplacez $x^{4}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Étape 2.5.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Étape 2.5.7.3

Soustrayez $10$ de $4$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 x^{- 6})$

Étape 2.5.8

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + 5 (\frac{3}{5}) x^{- 6}$

Étape 2.5.9

Associez $5$ et $\frac{3}{5}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5} x^{- 6}$

Étape 2.5.10

Multipliez $5$ par $3$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{15}{5} x^{- 6}$

Étape 2.5.11

Associez $\frac{15}{5}$ et $x^{- 6}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{15 x^{- 6}}{5}$

Étape 2.5.12

Placez $x^{- 6}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{15}{5 x^{6}}$

Étape 2.5.13

Annulez le facteur commun à $15$ et $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.13.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5 x^{6}}$

Étape 2.5.13.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.13.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{6}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5 (x^{6})}$

Étape 2.5.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5 x^{6}}$

Étape 2.5.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{3}{x^{6}}$

Étape 2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 20 x^{3} + 2 x + \frac{3}{x^{6}} + 2$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $20 x^{3} + 2 x + \frac{3}{x^{6}} + 2$ .

$20 x^{3} + 2 x + \frac{3}{x^{6}} + 2$