Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 2} \frac{\ln (- 1 - x)}{e^{x + 2} - 1}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 2} \ln (- 1 - x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to - 2} - 1 - x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Étape 1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{\ln (- lim_{x \to - 2} 1 - lim_{x \to - 2} x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Étape 1.2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{\ln (- 1 \cdot 1 - lim_{x \to - 2} x)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Étape 1.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{\ln (- 1 \cdot 1 + 2)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\ln (- 1 + 2)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Étape 1.2.4.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Étape 1.2.4.2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - 1}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} e^{x + 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

Étape 1.3.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

Étape 1.3.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

Étape 1.3.1.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + 2} - lim_{x \to - 2} 1}$

Étape 1.3.1.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 2} x + 2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{0}{e^{- 2 + 2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 2} \frac{\ln (- 1 - x)}{e^{x + 2} - 1} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (- 1 - x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (- 1 - x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = - 1 - x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 1 - x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 1 - x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 1 - x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 1 - x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} \frac{d}{d x} [- 1 - x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Étape 3.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{- 1 - x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Étape 3.9

Associez $\frac{1}{- 1 - x}$ et $- 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{- 1}{- 1 - x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Étape 3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 - x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Étape 3.11

Simplifiez

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Étape 3.11.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 (1) - x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Étape 3.11.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 (1) - (x)}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Étape 3.11.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (x)$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- \frac{1}{- 1 (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Étape 3.11.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - 2} \frac{- - \frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Étape 3.11.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1 \frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Étape 3.11.6

Multipliez $\frac{1}{1 + x}$ par $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2} - 1]}$

Étape 3.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x + 2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.13

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x + 2}]$ .

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Étape 3.13.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x + 2$ .

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Étape 3.13.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.13.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.13.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.13.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.13.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.13.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.13.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.13.6

Multipliez $e^{x + 2}$ par $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2} + 0}$

Étape 3.15

Additionnez $e^{x + 2}$ et $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{1 + x}}{e^{x + 2}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{e^{x + 2}}$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{1 + x}$ par $\frac{1}{e^{x + 2}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{(1 + x) e^{x + 2}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} (1 + x) e^{x + 2}}$

Étape 7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 2} (1 + x) e^{x + 2}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 2} 1 + x \cdot lim_{x \to - 2} e^{x + 2}}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{1}{(lim_{x \to - 2} 1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot lim_{x \to - 2} e^{x + 2}}$

Étape 10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot lim_{x \to - 2} e^{x + 2}}$

Étape 11

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + 2}}$

Étape 12

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}}$

Étape 13

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{1}{(1 + lim_{x \to - 2} x) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + 2}}$

Étape 14

Évaluez les limites en insérant $- 2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 14.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{1}{(1 - 2) \cdot e^{lim_{x \to - 2} x + 2}}$

Étape 14.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{1}{(1 - 2) \cdot e^{- 2 + 2}}$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.1.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{- 1 e^{- 2 + 2}}$

Étape 15.1.2

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{1}{- 1 e^{0}}$

Étape 15.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1}$

Étape 15.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{- 1}$

Étape 15.3

Divisez $1$ par $- 1$ .

$- 1$