Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 3} \frac{3 \ln (4 - x)}{x - 3}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 3} 3 \ln (4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 1.2.2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 3} 4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 1.2.4

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{3 \ln (4 - lim_{x \to 3} x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 1.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3 \ln (4 - 3)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.5.2.1

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{3 \ln (1)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 1.2.5.2.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 1.2.5.2.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Étape 1.3.1.2

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 3} \frac{3 \ln (4 - x)}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \ln (4 - x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 4 - x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 3.4

Associez $\frac{1}{4 - x}$ et $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 3.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 3.7

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 3.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 3.11

Associez $\frac{3}{4 - x}$ et $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3 \cdot - 1}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 3.12

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{- 3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 3.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.16

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1 + 0}$

Étape 3.17

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 3} - \frac{3}{4 - x} \cdot 1$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 3} - \frac{3}{4 - x}$

Étape 6

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 3} \frac{3}{4 - x}$

Étape 7

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 3 lim_{x \to 3} \frac{1}{4 - x}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} 4 - x}$

Étape 9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to 3} 4 - x}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x}$

Étape 11

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$- 3 \frac{1}{4 - lim_{x \to 3} x}$

Étape 12

Simplifiez les termes.

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$- 3 \frac{1}{4 - 3}$

Étape 12.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.2.1

Soustrayez $3$ de $4$ .

$- 3 (\frac{1}{1})$

Étape 12.2.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 12.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 3 (\frac{1}{1})$

Étape 12.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 3 \cdot 1$

Étape 12.2.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3$