Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (x + y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x + y))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x + y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$\frac{1}{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{x + y} (1 + y')$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x + y} (1 + y')$ .

$(1 + y') \frac{1}{x + y}$

Étape 3.4.2

Multipliez $1 + y'$ par $\frac{1}{x + y}$ .

$\frac{1 + y'}{x + y}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{1 + y'}{x + y}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $x + y$ .

$y' (x + y) = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' x + y' y = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $\frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x + y$ .

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Étape 5.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' x + y' y = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Étape 5.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' x + y' y = 1 + y'$

Étape 5.2.2.1.2

Remettez dans l’ordre $1$ et $y'$ .

$y' x + y' y = y' + 1$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $y'$ des deux côtés de l’équation.

$y' x + y' y - y' = 1$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' x + y' y - y'$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' x$ .

$y' (x) + y' (y) - y' = 1$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' y$ .

$y' (x) + y' (y) - y' = 1$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (x) + y' (y) + y' \cdot - 1 = 1$

Étape 5.3.2.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x) + y' (y)$ .

$y' (x + y) + y' \cdot - 1 = 1$

Étape 5.3.2.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x + y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (x + y - 1) = 1$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $y' (x + y - 1) = 1$ par $x + y - 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (x + y - 1) = 1$ par $x + y - 1$ .

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{1}{x + y - 1}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x + y - 1$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{1}{x + y - 1}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{x + y - 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + y - 1}$