Calcul infinitésimal Exemples

$D_{x} (3^{3 x^{2}})$

Étape 1

Comme $D_{x}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $D_{x} \cdot 3^{3 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $D_{x} \frac{d}{d x} [3^{3 x^{2}}]$ .

$D_{x} \frac{d}{d x} [3^{3 x^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 3^{x}$ et $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{2}$ .

$D_{x} (\frac{d}{d u} [3^{u}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $3$ .

$D_{x} (3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{2}$ .

$D_{x} (3^{3 x^{2}} \ln (3) \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$D_{x} \cdot 3^{3 x^{2}} \ln (3) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$D_{x} \cdot (3^{1} \cdot 3^{3 x^{2}}) \ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$D_{x} \cdot 3^{1 + 3 x^{2}} \ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$D_{x} \cdot 3^{1 + 3 x^{2}} \ln (3) (2 x)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réorganisez les facteurs de $D_{x} \cdot 3^{1 + 3 x^{2}} \ln (3) (2 x)$ .

$2 \cdot 3^{1 + 3 x^{2}} D_{x} x \ln (3)$

Étape 7.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 \cdot 3^{1 + 3 x^{2}} D_{x} x \ln (3)$ .

$2 D_{x} x \cdot 3^{1 + 3 x^{2}} \ln (3)$