Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} e^{1 - 2 x} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$0 - 2$

Étape 1.1.4

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 - 2 x$ .

$u_{lower} = 1 - 2 \cdot 0$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 - 2 x$ .

$u_{upper} = 1 - 2 \cdot 1$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

Étape 1.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{- 1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{- 1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 2.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{- 1} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{- 1} \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{- 1} e^{u} d u)$

Étape 5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{- 1}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $e^{u}$ sur $- 1$ et sur $1$ .

$- \frac{1}{2} ((e^{- 1}) - e^{1})$

Étape 6.2

Simplifiez

$- \frac{1}{2} (e^{- 1} - e)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{e} - e)$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{2} (- e)$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{1}{e}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} - \frac{1}{2} (- e)$

Étape 7.4

Multipliez $- \frac{1}{2} (- e)$ .

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Étape 7.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

Étape 7.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{1}{2} e$

Étape 7.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{e}{2}$

Étape 7.5

Déplacez $2$ à gauche de $e$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{e}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{2 e} + \frac{e}{2}$

Forme décimale :

$1.17520119 \dots$

Étape 9