Calcul infinitésimal Exemples

$y x^{y - 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = x^{y - 1}$ .

$y \frac{d}{d y} [x^{y - 1}] + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = x$ et $g = y - 1$ .

$y (\frac{d}{d y} [x] ((y - 1) x^{y - 1 - 1}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$y (\frac{d}{d y} [x] ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$y (0 ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $y - 1$ par $0$ .

$y (0 x^{y - 2} + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.3.2

Multipliez $0$ par $x^{y - 2}$ .

$y (0 + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))$ .

$y (\frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$y ((\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y ((1 + \frac{d}{d y} [- 1]) x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$y ((1 + 0) x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$y (1 x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.7.2

Multipliez $x^{y - 1}$ par $1$ .

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \cdot 1$

Étape 3.9

Multipliez $x^{y - 1}$ par $1$ .

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{y - 1} y \ln (x) + x^{y - 1}$

Étape 4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{y - 1} y \ln (x) + x^{y - 1}$ .

$y x^{y - 1} \ln (x) + x^{y - 1}$