Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = - 0.3 t^{3} + 80 t + 425$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 0.3 t^{3} + 80 t + 425$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$ .

$\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 0.3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 0.3 t^{3}$ par rapport à $t$ est $- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 0.3 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $- 0.3$ .

$- 0.9 t^{2} + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [80 t]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $80$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $80 t$ par rapport à $t$ est $80 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [425]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [425]$

Étape 1.3.3

Multipliez $80$ par $1$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 + \frac{d}{d t} [425]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $425$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $425$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $- 0.9 t^{2} + 80$ et $0$ .

$- 0.9 t^{2} + 80$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 0.9 t^{2} + 80$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [- 0.9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [80]$ .

$f'' (t) = \frac{d}{d t} (- 0.9 t^{2}) + \frac{d}{d t} (80)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 0.9 t^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 0.9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 0.9 t^{2}$ par rapport à $t$ est $- 0.9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f'' (t) = - 0.9 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (80)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (t) = - 0.9 (2 t) + \frac{d}{d t} (80)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 0.9$ .

$f'' (t) = - 1.8 t + \frac{d}{d t} (80)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $80$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $80$ par rapport à $t$ est $0$ .

$f'' (t) = - 1.8 t + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 1.8 t$ et $0$ .

$f'' (t) = - 1.8 t$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 0.9 t^{2} + 80 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 0.3 t^{3} + 80 t + 425$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$ .

$\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 0.3 t^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 0.3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 0.3 t^{3}$ par rapport à $t$ est $- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$- 0.3 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 0.3 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 0.3$ .

$- 0.9 t^{2} + \frac{d}{d t} [80 t] + \frac{d}{d t} [425]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [80 t]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $80$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $80 t$ par rapport à $t$ est $80 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [425]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [425]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $80$ par $1$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 + \frac{d}{d t} [425]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $425$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $425$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $- 0.9 t^{2} + 80$ et $0$ .

$f' (t) = - 0.9 t^{2} + 80$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (t)$ par rapport à $t$ est $- 0.9 t^{2} + 80$ .

$- 0.9 t^{2} + 80$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 0.9 t^{2} + 80 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 0.9 t^{2} + 80 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $80$ des deux côtés de l’équation.

$- 0.9 t^{2} = - 80$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 0.9 t^{2} = - 80$ par $- 0.9$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 0.9 t^{2} = - 80$ par $- 0.9$ .

$\frac{- 0.9 t^{2}}{- 0.9} = \frac{- 80}{- 0.9}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 0.9$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 0.9 t^{2}}{- 0.9} = \frac{- 80}{- 0.9}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $t^{2}$ par $1$ .

$t^{2} = \frac{- 80}{- 0.9}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $- 80$ par $- 0.9$ .

$t^{2} = 88.\overline{8}$

Étape 5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$t = \pm \sqrt{88.\overline{8}}$

Étape 5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$t = \sqrt{88.\overline{8}}$

Étape 5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$t = - \sqrt{88.\overline{8}}$

Étape 5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$t = \sqrt{88.\overline{8}}, - \sqrt{88.\overline{8}}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$t = \sqrt{88.\overline{8}}, - \sqrt{88.\overline{8}}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $t = \sqrt{88.\overline{8}}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 1.8 \sqrt{88.\overline{8}}$

Étape 9

Multipliez $- 1.8$ par $\sqrt{88.\overline{8}}$ .

$- 16.97056274$

Étape 10

$t = \sqrt{88.\overline{8}}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$t = \sqrt{88.\overline{8}}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $t = \sqrt{88.\overline{8}}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $t$ par $\sqrt{88.\overline{8}}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 {(\sqrt{88.\overline{8}})}^{3} + 80 (\sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}$ comme $\sqrt{{88.\overline{8}}^{3}}$ .

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 \sqrt{{88.\overline{8}}^{3}} + 80 (\sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Étape 11.2.1.2

Élevez $88.\overline{8}$ à la puissance $3$ .

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 \sqrt{702331.96159122} + 80 (\sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 0.3$ par $\sqrt{702331.96159122}$ .

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = - 251.41574442 + 80 \sqrt{88.\overline{8}} + 425$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $- 251.41574442$ et $80 \sqrt{88.\overline{8}}$ .

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = 502.83148884 + 425$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $502.83148884$ et $425$ .

$f (\sqrt{88.\overline{8}}) = 927.83148884$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $927.83148884$ .

$y = 927.83148884$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 1.8 (- \sqrt{88.\overline{8}})$

Étape 13

Multipliez $- 1.8 (- \sqrt{88.\overline{8}})$ .

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Étape 13.1

Multipliez $- 1$ par $- 1.8$ .

$1.8 \sqrt{88.\overline{8}}$

Étape 13.2

Multipliez $1.8$ par $\sqrt{88.\overline{8}}$ .

$16.97056274$

Étape 14

$t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $t = - \sqrt{88.\overline{8}}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $t$ par $- \sqrt{88.\overline{8}}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 {(- \sqrt{88.\overline{8}})}^{3} + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{88.\overline{8}}$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Étape 15.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 (- {\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Étape 15.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{88.\overline{8}}}^{3}$ comme $\sqrt{{88.\overline{8}}^{3}}$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 (- \sqrt{{88.\overline{8}}^{3}}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Étape 15.2.1.4

Élevez $88.\overline{8}$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 0.3 (- \sqrt{702331.96159122}) + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Étape 15.2.1.5

Multipliez $- 0.3 (- \sqrt{702331.96159122})$ .

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Étape 15.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 0.3$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = 0.3 \sqrt{702331.96159122} + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Étape 15.2.1.5.2

Multipliez $0.3$ par $\sqrt{702331.96159122}$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = 251.41574442 + 80 (- \sqrt{88.\overline{8}}) + 425$

Étape 15.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $80$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = 251.41574442 - 80 \sqrt{88.\overline{8}} + 425$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 15.2.2.1

Soustrayez $80 \sqrt{88.\overline{8}}$ de $251.41574442$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 502.83148884 + 425$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $- 502.83148884$ et $425$ .

$f (- \sqrt{88.\overline{8}}) = - 77.83148884$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $- 77.83148884$ .

$y = - 77.83148884$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (t) = - 0.3 t^{3} + 80 t + 425$ .

$(\sqrt{88.\overline{8}}, 927.83148884)$ est un maximum local

$(- \sqrt{88.\overline{8}}, - 77.83148884)$ est un minimum local

Étape 17