Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{3} (\frac{4}{x^{2}} + 1) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{2}^{3} \frac{4}{x^{2}} + 1 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{2}^{3} \frac{4}{x^{2}} d x + \int_{2}^{3} d x$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{2}^{3} d x$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$4 \int_{2}^{3} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{2}^{3} d x$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int_{2}^{3} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{2}^{3} d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 \int_{2}^{3} x^{- 2} d x + \int_{2}^{3} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$4 (- x^{- 1}]_{2}^{3}) + x]_{2}^{3}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $3$ et sur $2$ .

$4 ((- 3^{- 1}) + 2^{- 1}) + x]_{2}^{3}$

Étape 7.2

Évaluez $x$ sur $3$ et sur $2$ .

$4 (- 3^{- 1} + 2^{- 1}) + 3 - 2$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{3} + 2^{- 1}) + 3 - 2$

Étape 7.3.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}) + 3 - 2$

Étape 7.3.3

Pour écrire $- \frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) + 3 - 2$

Étape 7.3.4

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$4 (- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) + 3 - 2$

Étape 7.3.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) + 3 - 2$

Étape 7.3.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$4 (- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) + 3 - 2$

Étape 7.3.5.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$4 (- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}) + 3 - 2$

Étape 7.3.5.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$4 (- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}) + 3 - 2$

Étape 7.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{- 2 + 3}{6} + 3 - 2$

Étape 7.3.7

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$4 (\frac{1}{6}) + 3 - 2$

Étape 7.3.8

Associez $4$ et $\frac{1}{6}$ .

$\frac{4}{6} + 3 - 2$

Étape 7.3.9

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 7.3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (2)}{6} + 3 - 2$

Étape 7.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} + 3 - 2$

Étape 7.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} + 3 - 2$

Étape 7.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} + 3 - 2$

Étape 7.3.10

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{2}{3} + 1$

Étape 7.3.11

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2}{3} + \frac{3}{3}$

Étape 7.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 + 3}{3}$

Étape 7.3.13

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{5}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5}{3}$

Forme décimale :

$1.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$1 \frac{2}{3}$

Étape 9