Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 \arcsin (\frac{x}{2})$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \arcsin (\frac{x}{2})$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{2})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{2})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\arcsin (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ et $4$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 3.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ .

$\frac{4}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \cdot 1$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ par $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{2^{2}}}}$

Étape 4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$