Calcul infinitésimal Exemples

$e^{2 x - 1} y^{- 2}$

Étape 1

Écrivez $e^{2 x - 1} y^{- 2}$ comme une fonction.

$f (x) = e^{2 x - 1} y^{- 2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int e^{2 x - 1} y^{- 2} d x$

Étape 4

Comme $y^{- 2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $y^{- 2}$ en dehors de l’intégrale.

$y^{- 2} \int e^{2 x - 1} d x$

Étape 5

Laissez $u = 2 x - 1$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 2 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y^{- 2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y^{- 2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y^{- 2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{- 2}$ .

$\frac{y^{- 2}}{2} \int e^{u} d u$

Étape 8.2

Placez $y^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 y^{2}} \int e^{u} d u$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{2 y^{2}} (e^{u} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{1}{2 y^{2}} e^{u} + C$

Étape 10.2

Associez $\frac{1}{2 y^{2}}$ et $e^{u}$ .

$\frac{e^{u}}{2 y^{2}} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 1$ .

$\frac{e^{2 x - 1}}{2 y^{2}} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = e^{2 x - 1} y^{- 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{e^{2 x - 1}}{2 y^{2}} + C$