Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{r \to - \frac{3}{2}} \frac{\sqrt{31 - 12 r^{2}}}{16 r^{3} + 10}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $r$ approche de $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{lim_{r \to - \frac{3}{2}} \sqrt{31 - 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 31 - 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $r$ approche de $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 31 - lim_{r \to - \frac{3}{2}} 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Étape 4

Évaluez la limite de $31$ qui est constante lorsque $r$ approche de $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{31 - lim_{r \to - \frac{3}{2}} 12 r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Étape 5

Placez le terme $12$ hors de la limite car il est constant par rapport à $r$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 lim_{r \to - \frac{3}{2}} r^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Étape 6

Déplacez l’exposant $2$ de $r^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + 10}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $r$ approche de $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{lim_{r \to - \frac{3}{2}} 16 r^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

Étape 8

Placez le terme $16$ hors de la limite car il est constant par rapport à $r$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 lim_{r \to - \frac{3}{2}} r^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $3$ de $r^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + lim_{r \to - \frac{3}{2}} 10}$

Étape 10

Évaluez la limite de $10$ qui est constante lorsque $r$ approche de $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + 10}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $- \frac{3}{2}$ pour toutes les occurrences de $r$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $r$ en insérant $- \frac{3}{2}$ pour $r$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2}}}{16 {(lim_{r \to - \frac{3}{2}} r)}^{3} + 10}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $r$ en insérant $- \frac{3}{2}$ pour $r$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 12.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Étape 12.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Étape 12.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Étape 12.1.3

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Étape 12.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 \frac{9}{2^{2}}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Étape 12.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{31 - 12 (\frac{9}{4})}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Étape 12.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 12.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$\frac{\sqrt{31 + 4 (- 3) \frac{9}{4}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Étape 12.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{31 + 4 \cdot - 3 \frac{9}{4}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Étape 12.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{31 - 3 \cdot 9}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Étape 12.1.7

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$\frac{\sqrt{31 - 27}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Étape 12.1.8

Soustrayez $27$ de $31$ .

$\frac{\sqrt{4}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Étape 12.1.9

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Étape 12.1.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2}{16 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 10}$

Étape 12.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 12.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 10}$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{16 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 10}$

Étape 12.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{16 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 10}$

Étape 12.2.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{16 (- \frac{27}{2^{3}}) + 10}$

Étape 12.2.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{16 (- \frac{27}{8}) + 10}$

Étape 12.2.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 12.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{27}{8}$ dans le numérateur.

$\frac{2}{16 (\frac{- 27}{8}) + 10}$

Étape 12.2.5.2

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$\frac{2}{8 (2) \frac{- 27}{8} + 10}$

Étape 12.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{8 \cdot 2 \frac{- 27}{8} + 10}$

Étape 12.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{2 \cdot - 27 + 10}$

Étape 12.2.6

Multipliez $2$ par $- 27$ .

$\frac{2}{- 54 + 10}$

Étape 12.2.7

Additionnez $- 54$ et $10$ .

$\frac{2}{- 44}$

Étape 12.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 44$ .

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Étape 12.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{- 44}$

Étape 12.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 44$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 22}$

Étape 12.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 22}$

Étape 12.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 22}$

Étape 12.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{22}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{22}$

Forme décimale :

$- 0.0\overline{45}$