Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{6} \frac{9}{4 \sqrt[4]{3 x - 2}} d x$

Étape 1

Comme $\frac{9}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{9}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{6} \frac{1}{\sqrt[4]{3 x - 2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 3 x - 2$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Laissez $u = 3 x - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 x - 2$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 2$

Étape 2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$u_{lower} = 3 - 2$

Étape 2.3.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 x - 2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 6 - 2$

Étape 2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Multipliez $3$ par $6$ .

$u_{upper} = 18 - 2$

Étape 2.5.2

Soustrayez $2$ de $18$ .

$u_{upper} = 16$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[4]{u}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u} \cdot 3} d u$

Étape 3.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt[4]{u}$ .

$\frac{9}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{3 \sqrt[4]{u}} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{9}{4} (\frac{1}{3} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Étape 5.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{9}{12} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Étape 5.1.3

Annulez le facteur commun à $9$ et $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 (3)}{12} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Étape 5.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Étape 5.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Étape 5.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Étape 5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{u}$ comme $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Étape 5.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{4}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Étape 5.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Étape 5.2.3.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 1$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Étape 5.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{16} u^{- \frac{1}{4}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{4}}$ par rapport à $u$ est $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4} \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}]_{1}^{16}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Évaluez $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ sur $16$ et sur $1$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{4}{3} \cdot 16^{\frac{3}{4}}) - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Étape 7.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot {(2^{4})}^{\frac{3}{4}} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Étape 7.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Étape 7.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 2^{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Étape 7.2.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Étape 7.2.5

Associez $\frac{4}{3}$ et $8$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 \cdot 8}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Étape 7.2.6

Multipliez $4$ par $8$ .

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}})$

Étape 7.2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1)$

Étape 7.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3}{4} (\frac{32}{3} - \frac{4}{3})$

Étape 7.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{32 - 4}{3}$

Étape 7.2.10

Soustrayez $4$ de $32$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{28}{3}$

Étape 7.2.11

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{28}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 28}{4 \cdot 3}$

Étape 7.2.12

Multipliez $3$ par $28$ .

$\frac{84}{4 \cdot 3}$

Étape 7.2.13

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{84}{12}$

Étape 7.2.14

Annulez le facteur commun à $84$ et $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.14.1

Factorisez $12$ à partir de $84$ .

$\frac{12 \cdot 7}{12}$

Étape 7.2.14.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.14.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12$ .

$\frac{12 \cdot 7}{12 (1)}$

Étape 7.2.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 1}$

Étape 7.2.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{1}$

Étape 7.2.14.2.4

Divisez $7$ par $1$ .

$7$

Étape 8