Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 - \frac{\sin (5 x)}{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - \frac{\sin (5 x)}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sin (5 x)}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sin (5 x)}{3}]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{\sin (5 x)}{3}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{\sin (5 x)}{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{\sin (5 x)}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$0 - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$0 - \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 1.2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$0 - \frac{1}{3} (\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$0 - \frac{1}{3} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 1.2.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{1}{3} (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{3} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Étape 1.2.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$0 - \frac{1}{3} (\cos (5 x) \cdot 5)$

Étape 1.2.6

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$0 - \frac{1}{3} (5 \cdot \cos (5 x))$

Étape 1.2.7

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$0 - 5 (\frac{1}{3}) \cos (5 x)$

Étape 1.2.8

Associez $- 5$ et $\frac{1}{3}$ .

$0 + \frac{- 5}{3} \cos (5 x)$

Étape 1.2.9

Associez $\frac{- 5}{3}$ et $\cos (5 x)$ .

$0 + \frac{- 5 \cos (5 x)}{3}$

Étape 1.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - \frac{5 \cos (5 x)}{3}$

Étape 1.3

Soustrayez $\frac{5 \cos (5 x)}{3}$ de $0$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- \frac{5}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5 \cos (5 x)}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot \frac{d}{d x} \cos (5 x)$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (5 x))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} (5 x))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} (5 x))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{5}{3}) \cdot (\sin (5 x) \frac{d}{d x} (5 x))$

Étape 2.3.2

Associez les fractions.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{5}{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\sin (5 x) \frac{d}{d x} (5 x))$

Étape 2.3.2.2

Associez $\sin (5 x)$ et $\frac{5}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\sin (5 x) \cdot 5}{3} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.3.2.3

Déplacez $5$ à gauche de $\sin (5 x)$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot \sin (5 x)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (5 x)}{3} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.4

Associez les fractions.

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Étape 2.3.4.1

Associez $5$ et $\frac{5 \sin (5 x)}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (5 \sin (5 x))}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{25 \sin (5 x)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{25 \sin (5 x)}{3} \cdot 1$

Étape 2.3.6

Multipliez $\frac{25 \sin (5 x)}{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{25 \sin (5 x)}{3}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{3} = 0$

Étape 4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$5 \cos (5 x) = 0$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $5 \cos (5 x) = 0$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $5 \cos (5 x) = 0$ par $5$ .

$\frac{5 \cos (5 x)}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cos (5 x)}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 5.1.2.1.2

Divisez $\cos (5 x)$ par $1$ .

$\cos (5 x) = \frac{0}{5}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Divisez $0$ par $5$ .

$\cos (5 x) = 0$

Étape 5.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$5 x = \arccos (0)$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$5 x = \frac{π}{2}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{π}{2}$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{π}{2}$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{2}}{5}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{2}}{5}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{5}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 5.4.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 5.4.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.3.2.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \frac{π}{10}$

Étape 5.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$5 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 5.6

Résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Simplifiez

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Étape 5.6.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.6.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$5 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.6.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.6.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$5 x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 5.6.1.5

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$5 x = \frac{3 π}{2}$

Étape 5.6.2

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{3 π}{2}$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.6.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{3 π}{2}$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Étape 5.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Étape 5.6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Étape 5.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 5.6.2.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 5.6.2.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 5}$

Étape 5.6.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \frac{3 π}{10}$

Étape 5.7

La solution de l’équation est $5 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{10}, \frac{3 π}{10}$

Étape 6

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{10}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{25 \sin (5 (\frac{π}{10}))}{3}$

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{25 \sin (5 \frac{π}{5 (2)})}{3}$

Étape 7.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 \sin (5 \frac{π}{5 \cdot 2})}{3}$

Étape 7.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{25 \sin (\frac{π}{2})}{3}$

Étape 7.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{25 \cdot 1}{3}$

Étape 7.2

Multipliez $25$ par $1$ .

$\frac{25}{3}$

Étape 8

$x = \frac{π}{10}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{10}$ est un minimum local

Étape 9

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{10}$ .

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{10}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{10}) = 2 - \frac{\sin (5 (\frac{π}{10}))}{3}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 9.2.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$f (\frac{π}{10}) = 2 - \frac{\sin (5 (\frac{π}{5 (2)}))}{3}$

Étape 9.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{10}) = 2 - \frac{\sin (5 (\frac{π}{5 \cdot 2}))}{3}$

Étape 9.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{10}) = 2 - \frac{\sin (\frac{π}{2})}{3}$

Étape 9.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{10}) = 2 - \frac{1}{3}$

Étape 9.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{π}{10}) = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 9.2.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{π}{10}) = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 9.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{10}) = \frac{2 \cdot 3 - 1}{3}$

Étape 9.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (\frac{π}{10}) = \frac{6 - 1}{3}$

Étape 9.2.5.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$f (\frac{π}{10}) = \frac{5}{3}$

Étape 9.2.6

La réponse finale est $\frac{5}{3}$ .

$y = \frac{5}{3}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{10}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{25 \sin (5 (\frac{3 π}{10}))}{3}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{25 \sin (5 \frac{3 π}{5 (2)})}{3}$

Étape 11.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 \sin (5 \frac{3 π}{5 \cdot 2})}{3}$

Étape 11.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{25 \sin (\frac{3 π}{2})}{3}$

Étape 11.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$\frac{25 (- \sin (\frac{π}{2}))}{3}$

Étape 11.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{25 (- 1 \cdot 1)}{3}$

Étape 11.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{25 \cdot - 1}{3}$

Étape 11.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.1

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$\frac{- 25}{3}$

Étape 11.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{25}{3}$

Étape 12

$x = \frac{3 π}{10}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 π}{10}$ est un maximum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 π}{10}$ .

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Étape 13.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{10}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{\sin (5 (\frac{3 π}{10}))}{3}$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 13.2.1.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{\sin (5 (\frac{3 π}{5 (2)}))}{3}$

Étape 13.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{\sin (5 (\frac{3 π}{5 \cdot 2}))}{3}$

Étape 13.2.1.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{\sin (\frac{3 π}{2})}{3}$

Étape 13.2.1.1.2

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{- \sin (\frac{π}{2})}{3}$

Étape 13.2.1.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{- 1 \cdot 1}{3}$

Étape 13.2.1.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 - \frac{- 1}{3}$

Étape 13.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 + \frac{1}{3}$

Étape 13.2.1.3

Multipliez $- - \frac{1}{3}$ .

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Étape 13.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 + 1 (\frac{1}{3})$

Étape 13.2.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 + \frac{1}{3}$

Étape 13.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 13.2.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 13.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{10}) = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3}$

Étape 13.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = \frac{6 + 1}{3}$

Étape 13.2.5.2

Additionnez $6$ et $1$ .

$f (\frac{3 π}{10}) = \frac{7}{3}$

Étape 13.2.6

La réponse finale est $\frac{7}{3}$ .

$y = \frac{7}{3}$

Étape 14

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 - \frac{\sin (5 x)}{3}$ .

$(\frac{π}{10}, \frac{5}{3})$ est un minimum local

$(\frac{3 π}{10}, \frac{7}{3})$ est un maximum local

Étape 15