Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Étape 1

Écrivez $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \sin^{2} (x) d x + \int - \cos^{2} (x) d x$

Étape 5

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (x)$ en $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x + \int - \cos^{2} (x) d x$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int - \cos^{2} (x) d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Étape 10

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 10.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 10.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Étape 11

Associez $\cos (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1})) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Étape 13

L’intégrale de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int - \cos^{2} (x) d x$

Étape 14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int \cos^{2} (x) d x$

Étape 15

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (x)$ en $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Étape 16

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x)$

Étape 17

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Étape 18

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Étape 19

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Alors $d u_{2} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 19.1

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 19.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 19.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 19.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 19.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 19.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Étape 20

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 21

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Étape 22

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Étape 23

Simplifiez

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u_{1})) - \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 24

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 24.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 24.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Étape 25

Simplifiez

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Étape 25.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 25.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Étape 25.3

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Étape 25.4

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Étape 25.4.1

Multipliez $\frac{\sin (2 x)}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Étape 25.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Étape 25.5

Associez $\sin (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Étape 25.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Étape 25.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Étape 25.8

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

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Étape 25.8.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Étape 25.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Étape 26

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Étape 27

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$