Calcul infinitésimal Exemples

$y = 30 x^{- \frac{2}{4}} + 3 x$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $30 x^{- \frac{2}{4}} + 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [30 x^{- \frac{2}{4}}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x^{- \frac{2}{4}}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [30 x^{- \frac{2}{4}}]$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{d}{d x} [30 x^{- \frac{2 (1)}{4}}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{d}{d x} [30 x^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [30 x^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [30 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.2

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30 x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $30 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$30 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$30 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$30 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$30 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$30 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.7.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$30 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$30 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.9

Associez $x^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$30 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.10

Multipliez $- 1$ par $30$ .

$- 30 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.11

Associez $- 30$ et $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 30 x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.12

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 30}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.13

Factorisez $2$ à partir de $- 30$ .

$\frac{2 \cdot - 15}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 15}{2 (x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 15}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 15}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{15}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{15}{x^{\frac{3}{2}}} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{15}{x^{\frac{3}{2}}} + 3 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{15}{x^{\frac{3}{2}}} + 3$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 - \frac{15}{x^{\frac{3}{2}}}$