Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2} \frac{4 \ln (2 x - 3)}{2 e^{2 x - 4} - 2}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 2} 4 \ln (2 x - 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Étape 1.2.1.2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 2} 2 x - 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Étape 1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Étape 1.2.1.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Étape 1.2.1.5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{4 \ln (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 \ln (4 - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{4 \ln (4 - 3)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Étape 1.2.3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Étape 1.2.3.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - 2}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 2 e^{2 x - 4} - lim_{x \to 2} 2}$

Étape 1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 2} e^{2 x - 4} - lim_{x \to 2} 2}$

Étape 1.3.1.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{2 e^{lim_{x \to 2} 2 x - 4} - lim_{x \to 2} 2}$

Étape 1.3.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{2 e^{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} 2}$

Étape 1.3.1.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} 2}$

Étape 1.3.1.6

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4} - lim_{x \to 2} 2}$

Étape 1.3.1.7

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0}{2 e^{4 - 1 \cdot 4} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{0}{2 e^{4 - 4} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3.1.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{2 e^{0} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 2} \frac{4 \ln (2 x - 3)}{2 e^{2 x - 4} - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x - 3)]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x - 3)]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Étape 3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \ln (2 x - 3)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 x - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x - 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 (\frac{1}{2 x - 3} \frac{d}{d x} [2 x - 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Étape 3.4

Associez $\frac{1}{2 x - 3}$ et $4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Étape 3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Étape 3.9

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Étape 3.10

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4}{2 x - 3} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Étape 3.11

Associez $\frac{4}{2 x - 3}$ et $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{4 \cdot 2}{2 x - 3}}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Étape 3.12

Multipliez $4$ par $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4} - 2]}$

Étape 3.13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 e^{2 x - 4} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x - 4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.14.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{2 x - 4}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 4}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.14.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} \frac{d}{d x} [2 x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.8

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (e^{2 x - 4} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.9

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x - 4}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{2 (2 e^{2 x - 4}) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.14.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{4 e^{2 x - 4} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.15

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{4 e^{2 x - 4} + 0}$

Étape 3.16

Additionnez $4 e^{2 x - 4}$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{8}{2 x - 3}}{4 e^{2 x - 4}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 2} \frac{8}{2 x - 3} \cdot \frac{1}{4 e^{2 x - 4}}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez $\frac{8}{2 x - 3}$ par $\frac{1}{4 e^{2 x - 4}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8}{(2 x - 3) (4 e^{2 x - 4})}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \cdot 2}{(2 x - 3) (4 e^{2 x - 4})}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $(2 x - 3) (4 e^{2 x - 4})$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \cdot 2}{4 ((2 x - 3) (e^{2 x - 4}))}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 2} \frac{4 \cdot 2}{4 ((2 x - 3) (e^{2 x - 4}))}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 2} \frac{2}{(2 x - 3) (e^{2 x - 4})}$

Étape 6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 2} \frac{1}{(2 x - 3) e^{2 x - 4}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$2 \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} (2 x - 3) e^{2 x - 4}}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 2} (2 x - 3) e^{2 x - 4}}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 2} 2 x - 3 \cdot lim_{x \to 2} e^{2 x - 4}}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$2 \frac{1}{(lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 3) \cdot lim_{x \to 2} e^{2 x - 4}}$

Étape 11

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{1}{(2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3) \cdot lim_{x \to 2} e^{2 x - 4}}$

Étape 12

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$2 \frac{1}{(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot lim_{x \to 2} e^{2 x - 4}}$

Étape 13

Placez la limite dans l’exposant.

$2 \frac{1}{(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot e^{lim_{x \to 2} 2 x - 4}}$

Étape 14

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$2 \frac{1}{(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot e^{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 4}}$

Étape 15

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{1}{(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot e^{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}}$

Étape 16

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$2 \frac{1}{(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot e^{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}}$

Étape 17

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$2 \frac{1}{(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \cdot e^{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}}$

Étape 17.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$2 \frac{1}{(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \cdot e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}}$

Étape 18

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \frac{1}{(4 - 1 \cdot 3) e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}}$

Étape 18.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$2 \frac{1}{(4 - 3) e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}}$

Étape 18.1.3

Soustrayez $3$ de $4$ .

$2 \frac{1}{1 e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}}$

Étape 18.1.4

Multipliez $e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$ par $1$ .

$2 \frac{1}{e^{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}}$

Étape 18.1.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \frac{1}{e^{4 - 1 \cdot 4}}$

Étape 18.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$2 \frac{1}{e^{4 - 4}}$

Étape 18.1.6

Soustrayez $4$ de $4$ .

$2 \frac{1}{e^{0}}$

Étape 18.1.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Étape 18.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{1}{1})$

Étape 18.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 1$

Étape 18.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$