Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = \cos (2 t) + 2 \sin (2 t)$ .

$e^{t} \frac{d}{d t} [\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)] + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\cos (2 t)] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]$ .

$e^{t} (\frac{d}{d t} [\cos (2 t)] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cos (t)$ et $g (t) = 2 t$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 t$ .

$e^{t} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$e^{t} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 t$ .

$e^{t} (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{t} (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Étape 4.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + \frac{d}{d t} [2 \sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Étape 4.5

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 \sin (2 t)$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = 2 t$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 t$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t])) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Étape 5.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 t])) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 t$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 (\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t])) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 2 \cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 4 \cos (2 t) \frac{d}{d t} [t]) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 4 \cos (2 t) \cdot 1) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Étape 6.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 4 \cos (2 t)) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t) + 4 \cos (2 t)) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) e^{t}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{t} (- 2 \sin (2 t)) + e^{t} (4 \cos (2 t)) + (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) e^{t}$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{t} (- 2 \sin (2 t)) + e^{t} (4 \cos (2 t)) + \cos (2 t) e^{t} + 2 \sin (2 t) e^{t}$

Étape 8.3

Associez des termes.

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Étape 8.3.1

Remettez dans l’ordre $\cos (2 t)$ et $e^{t}$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t)) + 4 \cdot e^{t} \cos (2 t) + e^{t} \cos (2 t) + 2 \sin (2 t) e^{t}$

Étape 8.3.2

Additionnez $4 e^{t} \cos (2 t)$ et $e^{t} \cos (2 t)$ .

$e^{t} (- 2 \sin (2 t)) + 5 e^{t} \cos (2 t) + 2 \sin (2 t) e^{t}$

Étape 8.3.3

Déplacez $\sin (2 t)$ .

$5 e^{t} \cos (2 t) - 2 \cdot e^{t} \sin (2 t) + 2 e^{t} \sin (2 t)$

Étape 8.3.4

Additionnez $- 2 e^{t} \sin (2 t)$ et $2 e^{t} \sin (2 t)$ .

$5 e^{t} \cos (2 t) + 0$

Étape 8.3.5

Additionnez $5 e^{t} \cos (2 t)$ et $0$ .

$5 e^{t} \cos (2 t)$