Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{3}^{5} \frac{2 x^{2} + x + 4}{x - 1} d x$

Étape 1

Divisez $2 x^{2} + x + 4$ par $x - 1$ .

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{2}$

$x$

$4$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x$
	$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} - 2 x$

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$

Étape 1.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$

Étape 1.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$

Étape 1.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					+	$3 x$	-	$3$

Étape 1.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x - 3$

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x$	+	$3$

Étape 1.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x$	+	$3$
							+	$7$

Étape 1.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int_{3}^{5} 2 x + 3 + \frac{7}{x - 1} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{3}^{5} 2 x d x + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{3}^{5} x d x + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

Étape 7

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 \int_{3}^{5} \frac{1}{x - 1} d x$

Étape 8

Laissez $u = x - 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 8.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 8.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 8.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

Étape 8.3

Soustrayez $1$ de $3$ .

$u_{lower} = 2$

Étape 8.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 5 - 1$

Étape 8.5

Soustrayez $1$ de $5$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 8.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

Étape 8.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 \int_{2}^{4} \frac{1}{u} d u$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $5$ et sur $3$ .

$2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{3^{2}}{2}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Étape 10.2

Évaluez $3 x$ sur $5$ et sur $3$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

Étape 10.3

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $4$ et sur $2$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Étape 10.4

Simplifiez

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Étape 10.4.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Étape 10.4.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Étape 10.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{25 - 9}{2} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Étape 10.4.4

Soustrayez $9$ de $25$ .

$2 (\frac{16}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Étape 10.4.5

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 10.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Étape 10.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Étape 10.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Étape 10.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{8}{1}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Étape 10.4.5.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$2 \cdot 8 + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Étape 10.4.6

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Étape 10.4.7

Multipliez $3$ par $5$ .

$16 + 15 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Étape 10.4.8

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$16 + 15 - 9 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Étape 10.4.9

Soustrayez $9$ de $15$ .

$16 + 6 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

Étape 10.4.10

Additionnez $16$ et $6$ .

$22 + 7 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |))$

Étape 11

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$22 + 7 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |})$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$22 + 7 \ln (\frac{4}{| 2 |})$

Étape 12.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$22 + 7 \ln (\frac{4}{2})$

Étape 12.3

Divisez $4$ par $2$ .

$22 + 7 \ln (2)$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$22 + 7 \ln (2)$

Forme décimale :

$26.85203026 \dots$

Étape 14