Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{\sqrt{2 x}}{x} d x + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 4

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{\frac{u}{2}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{u}{2}$ .

$\int \sqrt{u} \frac{2}{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 5.1.2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{2}{u}$ .

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot 2}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 5.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{2 \cdot \sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 5.1.4

Multipliez $\frac{2 \sqrt{u}}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{u \cdot 2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 5.1.5

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 \cdot u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 5.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 5.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\sqrt{u}}{u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 5.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Placez $u^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 5.3.2

Multipliez $u$ par $u^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $u$ par $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 5.3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 5.3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 5.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 5.3.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 5.4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.4.1

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 5.4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 5.4.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 5.4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

Étape 7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 8

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.1

Retirez $x^{5}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Étape 8.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Étape 8.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int x^{- 5} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

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Étape 10.1.1

Associez $x^{- 4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Étape 10.1.2

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Étape 10.2

Simplifiez

$2 u^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{4 x^{4}} + C$

Étape 10.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}$ .

$F (x) =$ $2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$