Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x + 5) (x - 5)}{13 (x + 3) (x + 5)}$

Étape 1

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x + 5) (x - 5)}{13 (x + 3) (x + 5)}$

Étape 1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x - 5)}{13 (x + 3)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 2) (x - 5)}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x (x - 5) + 2 (x - 5)}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 5 + 2 (x - 5)}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 5 + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Étape 2.1.2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x - 5 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Étape 2.1.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Étape 2.1.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Étape 2.1.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Étape 2.1.2.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 5 x + 2 x + 2 \cdot - 5}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Étape 2.1.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 5 x + 2 x - 10}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Étape 2.1.2.8.3

Additionnez $- 5 x$ et $2 x$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 3 x - 10}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Étape 2.1.2.9

La limite à l’infini négatif d’un polynôme de degré pair dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 13 (x + 3)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 2.1.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 13 x + 13 \cdot 3}$

Étape 2.1.3.1.2

Multipliez $13$ par $3$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 13 x + 39}$

Étape 2.1.3.2

La limite à l’infini négatif d’un polynôme de degré impair dont le coefficient directeur est positif à l’infini négatif.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 2.1.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 2.2

Comme $\frac{\infty}{- \infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (x - 5)}{13 (x + 3)} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 2$ et $g (x) = x - 5$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Étape 2.3.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Étape 2.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 2) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Étape 2.3.7

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Étape 2.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Étape 2.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Étape 2.3.10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Étape 2.3.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + (x - 5) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Étape 2.3.12

Multipliez $x - 5$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x + 2 + x - 5}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Étape 2.3.13

Additionnez $x$ et $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 2 - 5}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Étape 2.3.14

Soustrayez $5$ de $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [13 (x + 3)]}$

Étape 2.3.15

Comme $13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $13 (x + 3)$ par rapport à $x$ est $13 \frac{d}{d x} [x + 3]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 \frac{d}{d x} [x + 3]}$

Étape 2.3.16

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}$

Étape 2.3.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 (1 + \frac{d}{d x} [3])}$

Étape 2.3.18

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 (1 + 0)}$

Étape 2.3.19

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13 \cdot 1}$

Étape 2.3.20

Multipliez $13$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{13}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{2 x - 3}{13}$ en deux fractions.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{13} + \frac{- 3}{13}$

Étape 4

La limite à l’infini négatif d’un polynôme de degré impair dont le coefficient directeur est positif à l’infini négatif.

$- \infty$