Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} x d x$

Étape 1

Associez $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ et $x$ .

$\int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{x}{θ_{2} - θ_{1}} d x$

Étape 2

Comme $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} x d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \frac{1}{2} x^{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez

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Étape 4.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$

Étape 4.1.2

Associez $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ et $\frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}}{θ_{2} - θ_{1}}$

Étape 4.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $θ_{2}$ et sur $θ_{1}$ .

$\frac{(\frac{{θ_{2}}^{2}}{2}) - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$

Étape 4.2.2.2

Associez.

$\frac{2 (\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Étape 4.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \frac{{θ_{2}}^{2}}{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Étape 4.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{{θ_{2}}^{2}}{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Étape 4.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{θ_{2}}^{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} - 2 \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Étape 4.2.2.6

Associez $- 2$ et $\frac{{θ_{1}}^{2}}{2}$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{- 2 {θ_{1}}^{2}}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Étape 4.2.2.7

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.2.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 {θ_{1}}^{2}$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Étape 4.2.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2 (1)}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Étape 4.2.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2 \cdot 1}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Étape 4.2.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{- {θ_{1}}^{2}}{1}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Étape 4.2.2.7.2.4

Divisez $- {θ_{1}}^{2}$ par $1$ .

$\frac{{θ_{2}}^{2} - {θ_{1}}^{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = θ_{2}$ et $b = θ_{1}$ .

$\frac{(θ_{2} + θ_{1}) (θ_{2} - θ_{1})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $θ_{2} - θ_{1}$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(θ_{2} + θ_{1}) (θ_{2} - θ_{1})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{θ_{2} + θ_{1}}{2}$