Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{2 y^{2}} + \frac{y^{4}}{16}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2 y^{2}} + \frac{y^{4}}{16}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2 y^{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{2 y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{y^{2}}$ comme ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{- 1}$ et $g (y) = y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 2.5

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{1}{2} (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 2.7

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 2.10

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 2.11

Associez $\frac{- 2}{2}$ et $y^{- 3}$ .

$\frac{- 2 y^{- 3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 2.12

Placez $y^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 2.13

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 2.13.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{3}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (y^{3})} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 2.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 2.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{16}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $\frac{1}{16}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y^{4}}{16}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{16} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{16} \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{16} (4 y^{3})$

Étape 3.3

Associez $4$ et $\frac{1}{16}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4}{16} y^{3}$

Étape 3.4

Associez $\frac{4}{16}$ et $y^{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{16}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 (y^{3})}{16}$

Étape 3.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{4 \cdot 4}$

Étape 3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{4 y^{3}}{4 \cdot 4}$

Étape 3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{y^{3}} + \frac{y^{3}}{4}$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y^{3}}{4} - \frac{1}{y^{3}}$