Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{2 x - 8}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{- 8}{x}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{2 - \frac{8}{x}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{2 - \frac{8}{x}}$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}}{2 - \frac{8}{x}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Étape 2.4

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Étape 2.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Étape 2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Étape 2.8

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{8}{x}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 2 - lim_{x \to - \infty} \frac{8}{x}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{2 - lim_{x \to - \infty} \frac{8}{x}}$

Étape 4.3

Placez le terme $8$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{2 - 8 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{2 - 8 \cdot 0}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 0}}{2 - 8 \cdot 0}$

Étape 6.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{2 - 8 \cdot 0}$

Étape 6.1.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 - 8 \cdot 0}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 + 0}$

Étape 6.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Étape 6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$- 0.5$