Calcul infinitésimal Exemples

$4 + x y - 4 x = 5 y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (4 + x y - 4 x) = \frac{d}{d x} (5 y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + x y - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$0 + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$0 + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$0 + x y' + y + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + x y' + y - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + x y' + y - 4 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$0 + x y' + y - 4$

Étape 2.4

Additionnez $0$ et $x y' + y$ .

$x y' + y - 4$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 y$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x y' + y - 4 = 5 y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $5 y'$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + y - 4 - 5 y' = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' - 4 - 5 y' = - y$

Étape 5.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x y' - 5 y' = - y + 4$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $x y' - 5 y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $x y'$ .

$y' x - 5 y' = - y + 4$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 5 y'$ .

$y' x + y' \cdot - 5 = - y + 4$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' x + y' \cdot - 5$ .

$y' (x - 5) = - y + 4$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (x - 5) = - y + 4$ par $x - 5$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (x - 5) = - y + 4$ par $x - 5$ .

$\frac{y' (x - 5)}{x - 5} = \frac{- y}{x - 5} + \frac{4}{x - 5}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x - 5)}{x - 5} = \frac{- y}{x - 5} + \frac{4}{x - 5}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y}{x - 5} + \frac{4}{x - 5}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y + 4}{x - 5}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{- (y) + 4}{x - 5}$

Étape 5.4.3.3

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$y' = \frac{- (y) - 1 (- 4)}{x - 5}$

Étape 5.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (- 4)$ .

$y' = \frac{- (y - 4)}{x - 5}$

Étape 5.4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.3.5.1

Réécrivez $- (y - 4)$ comme $- 1 (y - 4)$ .

$y' = \frac{- 1 (y - 4)}{x - 5}$

Étape 5.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y - 4}{x - 5}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 4}{x - 5}$