Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{θ \to 0} \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (2 θ)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{θ \to 0} 1 - \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{θ \to 0} 1 - lim_{θ \to 0} \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $0$ .

$\frac{1 - lim_{θ \to 0} \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Étape 1.1.2.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1 - \cos (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $0$ pour $θ$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} 2 θ)}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $θ$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $0$ pour $θ$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 1.1.3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{θ \to 0} \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (2 θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Étape 1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $1$ par rapport à $θ$ est $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- \cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Étape 1.3.4.2

La dérivée de $\cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{0 - - \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{0 + 1 \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Étape 1.3.4.4

Multipliez $\sin (θ)$ par $1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{0 + \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $0$ et $\sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \sin (θ)$ et $g (θ) = 2 θ$ .

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Étape 1.3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 θ$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Étape 1.3.6.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (u) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Étape 1.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 θ$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Étape 1.3.7

Comme $2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $2 θ$ par rapport à $θ$ est $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ) (2 \cdot 1)}$

Étape 1.3.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ) \cdot 2}$

Étape 1.3.10

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 \cos (2 θ)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ)}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (2 θ)}$

Étape 2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (2 θ)}$

Étape 2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (lim_{θ \to 0} 2 θ)}$

Étape 2.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $θ$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $0$ pour $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{\cos (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $0$ pour $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (2 \cdot 0)}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cos (0)}$

Étape 4.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1}$

Étape 4.3

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$0$